Isoler Stealthy ou non ?

Publié le par scalpaf

On peut se demander en quoi il est utile de dénombrer les tirages de cartes favorables ou défavorables pour l'un ou l'autre des joueurs durant une partie de Mr. Jack. En effet, dés lors que les coups sont joués, on ne peut plus revenir en arrière. Précisément, cet exercice peut être utile pour mesurer l'opportunité de jouer un coup particulier (ou une série de coups) avant même de le jouer, et de choisir entre plusieurs options de jeu. Bien sûr, ce type d'études ne garantit pas la victoire, mais cherche à en augmenter les possibilités.

Un rappel du contexte permet de comprendre les motivations de l'étude en question.
L'action se situe dans la partie n°67153 - scalpaf vs benfrenx - de la Bert's Cup du Whitechapel Tour (voir l'article à ce sujet).
L'inspecteur ne parvient pas à départager les suspects Bert et Stealthy depuis le début de la partie. Si les 2 suspects sont maintenus en l'état jusqu'à la fin de la partie, il accusera Bert pour un détail lié au tour 1, mais ce détail n'est pas très signifiant. Autant dire que si la situation reste en l'état, l'inspecteur à 50% de chance de gagner, et 50% de perdre. Il est en face de cette situation de jeu au tour 6, après le coup joué par Jack en 6.1.

L'inspecteur se pose la question de la pertinence d'isoler Stealthy ou non par les 2 coups suivants :
Gull-Stealthy (échange), Smith g4-f7 (h4->b2)

Deux options de jeux sont envisageables pour l'inspecteur :
A) Isoler Stealthy pour démasquer Jack => Situation de jeu A
Dans ce cas la chance de gagner de l'inspecteur peut s'écrire ainsi : Ca = 0,5 x %Bert + 0,5 x %Stealthy
où %Bert correspond à la chance d'attraper Bert dans le cas où il est Jack et %Stealthy celle d'attraper Stealthy dans le cas où elle est Jack.
B) Ne pas isoler Stealthy et optimiser les placements des personnages pour multiplier les chances de les accuser, voire de jouer Holmes => Situation de jeu B
La fonction "chance" de l'inspecteur s'établit alors ainsi : Cb = 0,5 + %Holmes x 0,167
Où %Holmes est la chance de pouvoir jouer Holmes au tour 7 sans craindre de voir Jack s'achapper. 0,167 est la probabilité de tirer la carte alibi du dernier suspect à ce stade de la partie, ne sachant pas si elle fait déjà partie ou non des 2 cartes alibis détenues par Jack (0,167 = 4/6 x 1/4 = 1/6)

Nous étudions ici la situation de jeu A résultant de l'hypothèse où l'inspecteur a isolé Stealty au tour 6, et cherchons plus particulièrement à mesurer les chances de victoire de l'inspecteur quand Jack est Stealthy (cas illustré ci-dessous), à savoir la valeur %Stealthy. Pour information, dans le cas où Jack serait Bert, l'inspecteur peut l'accuser dans 66 tirages sur 70 : %Bert = 94,29%.
Jack est démasqué sous l'accoutrement de Stealthy.
Mais quels risques court-il d'être interpelé par l'inspecteur aux tours 7 et 8 ?

Pour cette analyse, on nommera "tirage gagnant", un tirage qui permet à l'inspecteur d'interpeler Stealthy.

1) Stealthy ne peut pas être interpelée au tour 7.1

2) Si Stealthy n'est pas présente dans le tirage du tour 7 (35 tirages sans Stealthy) :
Aucun de ces tirages (sans Stealthy) ne permet d'accuser Stealthy au tour 7.
Le premier objectif de l'inspecteur est d'empêcher Stealthy de s'échapper au tour 8.1. Ensuite, étant donné que Jack jouera Stealthy en 8.1, pour espérer porter son accusation, l'inspecteur devra pouvoir disposer de Goodley ou Gull.

2.1 Commençons donc par l'étude des 20 tirages où Goodley est présent au tour 7 (Stealthy absente).
On remarque très vite que l'inspecteur ne peut pas compter sur le seul Goodley pour empêcher Stealthy de sortir au tour 8. Seuls Gull, Lestrade ou Smith peuvent le permettre. Cela donne un autre avantage à Jack qui pourra donc utiliser Goodley pour organiser sa planque, pendant que l'inspecteur empêchera sa sortie au tour 8.
Les 10 tirages où Goodley et Gull sont présents au tour 7 (sans Stealthy) sont perdants pour l'inspecteur. [10 tirages perdants]
Dans certains cas, Goodley et Gull ne sont pas suffisants pour empêcher Stealthy de s'évader :
- GoGuBeHo / GoGuBeLe / GoGuBeWa / GoGuHoLe /GoGuHoWa / GoGuLeWa
Dans les autres cas (ceux où Smith est présent), ils permettent à Jack de jouer au tour 8.1 sur une case où aucun des personnages restant ne pourra la rattraper :
- GoGuBeSm / GoGuHoSm / GoGuLeSm / GoGuSmWa
Parmi les 10 autres tirages avec Goodley au tour 7 (sans Stealthy, ni Gull), 3 ne peuvent pas empêcher Stealthy de s'échapper au tour 8.1 et sont perdants : GoBeHoSm / GoBeHoWa / GoBeSmWa. [3 tirages perdants]
Dans les 7 autres tirages, l'inspecteur doit jouer Lestrade ou Smith pour éviter la sortie de Stealthy, laissant Jack jouer Goodley et un autre personnage à sa guise (Bert quand il fait partie du tirage) à sa guise. Cela lui permet dans tous les cas d'empêcher l'inspecteur d'utiliser Gull au tour 8 pour attraper Stealthy (en déplaçant Gull en i9 par exemple). Ces 7 tirages là sont aussi perdants : GoBeHoLe / GoBeLeSm / GoBeLeWa / GoHoLeSm / GoHoLeWa / GoHoSmWa / GoLeSmWa. [7 tirages perdants]

2.2 Passons aux 10 tirages où Gull est présent au tour 7, sans que Goodley ni Stealthy n'y soit. Cela signifie que l'inspecteur disposera de Goodley au tour 8. Les configurations de ces tirages sont spécifiques et obligent une analyse détaillée :
- GuBeHoLe / GuBeLeWa : l'inspecteur doit jouer Lestrade pour empêcher Stealthy de s'échapper; Jack peut donc jouer Bert (plaque l12->a5) et Gull (échange Gull-Smith) pour sécuriser le coup Stealthy m9 en 8.1; [2 tirages perdants]
- GuBeHoSm / GuBeSmWa : l'inspecteur échange Gull et Stealthy; Jack joue Smith et Bert, mais il ne peut pas empêcher l'inspecteur de rattraper Stealthy au tour 8. [1 tirage gagnant]
- GuBeHoWa : l'inspecteur échange Gull et Stealthy; Jack doit bloquer f7 (Smith et Lestrade présents au tour 8) avec Bert (m9->f7); il devra jouer Stealthy en m8 pour éviter que Goodley ne puisse l'attraper à lui seul (Goodley ne peut pas déplacer Stealthy m8->m9 avant d'aller en m9; Jack pourra toujours sécuriser m9 en y mettant Bert ou Holmes à ce tour; [1 tirage perdant]
- GuBeLeSm / GuHoLeSm : l'inspecteur échange Gull et Stealthy; Jack doit jouer Smith et Lestrade pour ne pas perdre au tour 7; Il doit donc laisser l'inspecteur jouer Bert, et laisser donc la mobilité à Goodley et aux autres personnages du tour 8 pour rattraper Stealthy au tour suivant. [2 tirages gagnants]
- GuHoLeWa / GuHoSmWa / GuLeSmWa permettent aussi à l'inspecteur de rattraper Stealthy au tour 8 après avoir fait l'échange Gull-Stealthy en 7.1. [3 tirages gagnants]

2.3 Les 5 derniers tirages, sans Goodley, ni Gull, ni Stealthy, se partagent en tirages gagnants et perdants pour l'inspecteur.
- HoBeLeSm / HoLeSmWa / LeBeSmWa : l'inspecteur joue Lestrade ou Smith pour empêcher la fuite de Stealthy. Jack peut utiliser Bert pour bloquer Goodley (l12->a5), de façon à ce qu'il ne puisse pas rattraper Stealthy par le truchement de Goodley et Gull. [3 tirages perdants]
- HoBeLeWa : l'inspecteur joue Lestrade; mais la présence de Gull et Smith au tour suivant permettent à l'inspecteur d'arrêter Stealthy au tour 8. [1 tirage gagnant]
- HoBeSmWa : l'inspecteur joue Smith; mais la présence de Gull et Lestrade au tour suivant permettent à l'inspecteur d'arrêter Stealthy au tour 8. [1 tirage gagnant]

3) Si Stealthy est présente au tour 7 (35 tirages avec Stealthy), l'inspecteur devra jouer Stealthy pour qu'elle ne puisse pas sortir.

3.1 Les tirages où Goodley est présent avec Stealthy au tour 7.
Après que l'inspecteur eut joué Stealthy (en h6 ou h3), Jack peut organiser la protection de Stealthy avec Goodley. Goodley peut déplacer Stealthy à 2 cases et s'assurer que tous les autres personnages ne sont pas sur une bouche d'égout. Impossible alors pour les personnages restant d'attraper Stealthy que ce soit au tour 7 ou au tour 8. Si Gull est présent au tour 7, Jack le jouera en plus de Goodley dans ses 2 coups 7.2 et 7.3. Si Gull est présent au tour 8, Jack le jouera en 8.1. Les 15 tirages avec Stealthy et Goodley au tour 7 sont donc perdants [15 tirages perdants].

3.2 Parmi les autres tirages (Goodley absent), voyons ceux où Bert est présent au tour 7.
Jack peut utiliser Bert pour bloquer l'accès à Stealthy. Seuls Lestrade et Smith peuvent avoir accès à Stealthy (en h6) sans utiliser les bouches d'égout, le tirage Stealthy, Bert, Lestrade, Smith est donc gagnant pour l'inspecteur en 7.4 [1 tirage gagnant]. Aucun autre tirage n'est gagnant au tour 7.
Au tour 8, seule la présence conjuguée de Gull et Goodley peut permettre de rattraper Stealthy, car dans les autres cas, Jack utilisera Goodley pour organiser la planque de Stealthy et s'assurer qu'aucun personnage ne puisse la rattraper. Donc les 4 tirages Stealthy, Bert, Gull, sans Goodley, sont perdants pour l'inspecteur [4 tirages perdants].
Les 5 tirages restants avec Bert et Stealthy, mais sans Goodley, ni Gull, sont gagnants pour l'inspecteur car Lestrade ou Smith peuvent permettre d'attraper Stealthy dés lors que l'inspecteur l'aura positionnée en h6 [5 tirages gagnants] : StBeHoLe / StBeHoSm / StBeHoWa / StBeLeWa / StBeSmWa

3.3 Envisageons ensuite les cas où Gull est présent avec Stealthy, mais sans Goodley ni Bert.
Jack peut se servir de Gull pour éloigner Stealthy des autres personnages (échange Gull-Stealthy). Le tirage StGuLeSm permet de prendre Stealthy au tour 7 [1 tirage gagnant]. Les autres tirages sont perdants aussi au tour 8 car Goodley pourra organiser la planque de Stealthy. Il suffira à Jack de déplacer Stealthy en i9 avec Goodley (depuis h6 ou h3) [5 tirages perdants].
Restent 4 tirages avec Stealthy, mais sans Goodley, ni Bert, ni Gull, qui sont automatiquement gagnants en 7.4. [4 tirages gagnants] : StHoLeSm / StHoLeWa / StHoSmWa / StLeSmWa

4) Conclusions
En conclusion, dans cette hypothèse l'inspecteur a 20 tirages gagnants (9 tirages sans Stealthy au tour 7 et 11 tirages avec Stealthy au tour 7) sur les 70 tirages possibles, soit 28,57% de chance de l'emporter, contre 71,43% pour Jack.

Les tirages sont classés dans l'ordre du raisonnement décliné dans l'étude.

Si on replace cette étude dans son contexte de jeu préalablement au choix de l'inspecteur de jouer l'option A ou l'option B.
L'option A dont la chance de victoire pour l'inspecteur s'exprimepar Ca = 0,5 x %Bert + 0,5 x %Stealthy, donne donc : Ca = 0,5 x 66/70 + 0,5 x 20/70 = 0,6143, soit 61,43% d'espérance de gain pour l'inspecteur (avant de savoir qui est Jack).
Pour atteindre cette même espérance de gain, l'option B devrait permettre Cb > 0,6143, soit 0,5 + %Holmes x 1/6 > 0,6143 => %Holmes > 0,6858, ce qui est impossible puisque seuls 50% des tirages du tour 7 contiennent Holmes, et une partie d'entre eux ne permet pas de jouer Holmes sans compromettre l'arrestation de Jack au tour 8.
L'inspecteur doit donc jouer l'option A, isoler Stealthy pour démasquer Jack.

Note : L'auteur de cet article n'est pas une machine et a pu faire certaines erreurs. Merci de les lui communiquer si vous en voyez.

Les situations de jeu présentées dans cette rubrique envisagent le moment redouté du tirage des cartes des tours impairs. Si ils sont toujours imprévisibles, les tirages peuvent être dénombrés, en tirages favorables ou défavorables selon qu'on se place du point de vue de l'inspecteur ou de Jack. Pour en faciliter le dénombrement, le tableau présenté dans l'article "Le tirage des cartes" peut être utile.

Publié dans Tirages de cartes

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Yagami 13/04/2009 18:08

Finalement, le bon sens et l'intuition naturelle rejoignent la démonstration mathématique...et vice versa !